Nguyên hàm 1/cosx

     

Ta thấy ở hai ví dụ trên đều sở hữu . Ta điện thoại tư vấn là 1 nguyên hàm của . Vì với $C$ là một hằng số bất kỳ, ta bao gồm buộc phải nếu là nguyên hàm của thì cũng là một trong những nguyên hàm của . Ta hotline Họ nguyên hàm của .

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/cosx

Ký hiệu:

VD: .

b) Tính chất

, $k$ là hằng số

dx=intfleft( x ight)dx+intgleft( x ight)dx>

dx=intfleft( x ight)dx-intgleft( x ight)dx>

2. Bảng nguyên hàm của một vài hàm số thường xuyên gặp

*

3. Các phương pháp

Phương pháp 1. Áp dụng phương pháp nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:

• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$

.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$

•$I=intfracdx2x=frac12int x ight$

• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12int cos 2x ight$

• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$

• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$

• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$

Phương pháp 2. Phương thức đổi biến

a) những dạng đổi đổi mới số thường gặp

*

*

b) Ví dụ

• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$

Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ đó ta được:

$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$

$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$

• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$

Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ kia ta được:

$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$

$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$

• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$

Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$

$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12int+C$

Phương pháp 3. Cách thức nguyên hàm từng phần

a) văn bản phương pháp

Phương pháp này thường xuyên được áp dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Mang sử yêu cầu tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta có tác dụng như sau:

*

b) Chú ý

Thứ tự ưu tiên đặt $u$ trong cách thức Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ hàm lượng giác $ o $ Hàm mũ

c) Ví dụ

•$I=intx extsin2xdx$

*

$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$

•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$

Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.

*

$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$

*

Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$

•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$

*
$Rightarrow I=x.ln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2intln left( x+sqrtx^2+1 ight).fracxdxsqrtx^2+1$

$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$

•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta bao gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.

*

Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$

Phương pháp 4. Phối hợp đổi biến hóa số và cách thức nguyên hàm từng phần

•$I=intsin sqrtxdx$

Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$

*

Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$

•$I=intsin left( ln x ight)dx$.

*

Từ kia $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$

•$I=intx^8e^x^3dx$.

*
 

Từ đó $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$

•$I=inte^sqrtxdx$.

*

Phương pháp 5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Giả sử bắt buộc tính $I=intfleft( x ight)dx$. Lúc đó ta tìm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ thế nào cho việc tính $I+J$ với $I-J$ đơn giản và dễ dàng hơn. Chẳng hạn:

• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$

Ta rất có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$

Khi đó:

$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$

$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$

Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$

• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Ta rất có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Khi đó:

$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$

$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$

Từ kia suy ra:

$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

B. Bài tập trường đoản cú luyện

Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$

A.  <3x^2-2+C> B.

C.   D.

Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$

A. B.

C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>

Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$

A. B. <5e^3x-ln left| 6x+7 ight|+C>

C.

Xem thêm: Mẫu Viết Hồ Sơ Học Sinh Sinh Viên ” Chính Xác Nhất, Server Error

D. <5e^3x-frac16ln left| 6x+7 ight|+C>

Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$

A. B.  <-frac12sqrtx+C>

C. $frac32xsqrtx+C$ D.  

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$

A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$

A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 7: Cho . Đặt t=2sinx+1, lúc ấy

A.   B.

C. D.  

Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$

A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.  

C. D.  

Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai ?

A. B.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

C. D.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.  dx=intf(x)dxpm intg(x)dx>

C.  D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$

A.   B. <3 an (2x-1)+C>

C.  <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>

Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Khi đó

A.

Xem thêm: Bộ Khẩu Vặn Ốc Đa Năng - Bộ Tuýp Top, Bộ Đầu Khẩu 40 Chi Tiết Vặn Ốc

m + n + k = 5 B. m + n + k = 7

C.  m + n + k =12 D.  m + n + k = 16

Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Lúc đó

A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C.  2m + n =6 D.  2m + n = 8

Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Khi ấy