CHO TỨ GIÁC ABCD NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

     

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC với BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc cùng với AD ((H in AB;K in AD)).

Bạn đang xem: Cho tứ giác abcd nội tiếp đường tròn

a) chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp con đường tròn.

b) chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.

c) minh chứng rằng tam giác HIK cùng tam giác BCD đồng dạng.

Xem thêm: Tất Cả Các Chất Lưỡng Tính Thường Gặp Và Phương Pháp Giải Bài Tập

d) gọi S là diện tích s tam giác ABD, S’ làdiện tích tam giác HIK. Chứng tỏ rằng: (fracS"S le fracHK^24.AI^2)


Lời giải của Tự học 365

Giải chi tiết:

*

a) minh chứng tứ giác AHIK nội tiếp mặt đường tròn.

Tứ giác AHIK có:

(eginarraylangle AHI = 90^0 m (IH ot AB)\angle AKI = 90^0 m (IK ot AD)\ Rightarrow angle AHI + angle AKI = 180^0endarray)

( Rightarrow ) Tứ giác AHIK nội tiếp (dhnb).

b) chứng tỏ rằng IA.IC = IB.ID.

Xét (Delta IAD) cùng (Delta IBC) ta có:

(angle A_1 = angle B_1) (2 góc nội tiếp thuộc chắn cung DC của (O))

(angle AID = angle BIC) (2 góc đối đỉnh)

(eginarrayl Rightarrow Delta IAD sim Delta IBC,,left( g - g ight)\ Rightarrow fracIAIB = fracIDIC Rightarrow IA.IC = IB.ID,,,left( dpcm ight).endarray)

c) chứng tỏ rằng tam giác HIK với tam giác BCD đồng dạng.

Xem thêm: Ta Thà Làm Quỷ Nước Nam Chứ Không Thèm Làm Vương Đất Bắc " Là Của

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có

(angle A_1 = angle H_1) (2 góc nội tiếp thuộc chắn cung IK)

Mà (angle A_1 = angle B_1,,left( cmt ight) Rightarrow angle H_1 = angle B_1,,left( = angle A_1 ight))

Chứng minh tương tự, ta được (angle K_1 = angle D_1,,left( = angle CAH ight))

Xét (Delta HIK) và (Delta BCD) có:

 (eginarraylangle H_1 = angle B_1 m ,left( cmt ight)\angle K_1 = angle D_1,,,,left( cmt ight)\ Rightarrow Delta HIK sim Delta BCD,,left( g - g ight).,,,,left( dpcm ight)endarray)

d) điện thoại tư vấn S là diện tích tam giác ABD, S’ làdiện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: (fracS"S le fracHK^24.AI^2)

*

Gọi S1 là diện tích của (Delta )BCD.

Vì (Delta HIK sim Delta BCD,,left( cmt ight)) nên:

(fracS"S_1 = fracHK^2BD^2 = fracHK^2(IB + ID)^2 le fracHK^24IB.ID = fracHK^24IA.IC) (1)

Vẽ (AE ot BD m , CF ot BD Rightarrow AE//CF Rightarrow fracCFAE = fracICIA)

(Delta ABD) cùng (Delta BCD) bao gồm chung cạnh đáy BD nên:

(fracS_1S = fracCFAE Rightarrow fracS_1S = fracICIA) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (fracS"S_1 cdot fracS_1S le fracHK^24IA.IC cdot fracICIA Leftrightarrow fracS"S le fracHK^24IA^2) (đpcm)