Cho tam giác abc có 3 góc nhọn

     
Câu hỏi: đến tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn trung ương O nửa đường kính R cùng AH là đường cao của tam giác ABC. điện thoại tư vấn M, N thiết bị tự là hình chiếu của H bên trên AB, AC.1) minh chứng tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.2) chứng tỏ (angle ABC = angle ANM.)3) chứng minh OA vuông góc với MN.4) cho biết (AH = Rsqrt 2 ). Minh chứng M, O, N trực tiếp hàng.

- lí giải giải

Phương pháp giải:

1) chứng minh (angle AMH + angle ANH = 180^0) suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Bạn đang xem: Cho tam giác abc có 3 góc nhọn

2) Ta chứng minh hai góc tương ứng phụ với nhị góc bằng nhau thì bằng nhau.

3) chứng minh (angle OAC + angle ANM = 90^0 Rightarrow OA ot MN.)

Giải chi tiết:

*

1) minh chứng tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Ta gồm M, N là hình chiếu của H trên AB, AC ( Rightarrow angle AMH = angle ANH = 90^0)

Xét tứ giác AMHN ta có: (angle AMH + angle ANH = 180^0.)

Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) chứng minh (angle ABC = angle ANM.)

Ta có tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra (angle MAH = angle MNH)

(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).

Mặt khác: (angle BAH + angle ABH = 90^0;;(Delta ABH) vuông tại H).

Xem thêm: Ngày Đẹp Sinh Con Tháng 2 Năm 2021, Xem Ngày Sinh Con

(angle ANM + angle MNH = 90^0;;left( angle ANH = 90^0 ight))

Suy ra: (angle ABH = angle ANM;;left( = 90^0 - angle MNH ight);;;(dpcm).)

3) minh chứng OA vuông góc với MN.

Kéo dài OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A’.

Ta có: (angle CA"A = angle ABC) (hai góc nội tiếp thuộc chắn cung AC)

Góc (angle A"CA) chắn nửa đường tròn phải (angle A"CA = 90^0.)

( Rightarrow angle CA"A + angle A"AC = 90^0.) (Tổng hai góc trong tam giác vuông)

Mà (angle ABC + angle BAH = 90^0;;(Delta ABH) vuông trên H).

( Rightarrow angle BAH = angle A"AC.)

Lại có: (angle ABC = angle ANM;;left( cmt ight))

( Rightarrow angle A"AC + angle ANM = 90^0 Rightarrow OA ot MN;;(dpcm).)

4) mang đến biết (AH = Rsqrt 2 ). Chứng tỏ M, O, N trực tiếp hàng.

Xem thêm: Hướng Dẫn Sử Dụng Điều Hòa 2 Chiều Panasonic Đúng Cách, Cách Sử Dụng Điều Hòa 2 Chiều Panasonic

Áp dụng hệ thức lượng vào (Delta AHC) vuông tại H và tất cả đường cao thành phố hà nội ta có:

(eginarraylAH^2 = AN.AC = left( Rsqrt 2 ight)^2 = 2R^2 = AO.AA"\ Rightarrow AN.AC = AO.AA"\ Rightarrow fracANAA" = fracAOAC.endarray)

Xét (Delta AON) với (Delta AA"C) ta có:

(eginarraylfracANAA" = fracAOAC;;left( cmt ight)\angle A;;chung\ Rightarrow Delta AON sim Delta ACA";;left( c - g - c ight).\ Rightarrow angle AON = angle ACA" = 90^0endarray)

Chứng minh tương tự như ta có: (angle AOM = angle A"BA = 90^0)

( Rightarrow angle AOM + angle AON = 90^0 + 90^0 = 180^0 Rightarrow O,;M,;N) thẳng hàng (đpcm).