Cho nửa đường tròn tâm o đường kính ab=2r

     

Cho nửa con đường tròn vai trung phong (O), 2 lần bán kính (AB = 2R). Trên nửa mặt phẳng có bờ là (AB) đựng nửa con đường tròn, vẽ tiếp đường (Ax,,,By). Tự điểm (M) tùy ý ở trong nửa đường tròn ((M)khác (A,B)) vẽ tiếp tuyến tại (M) giảm (Ax,,,By) theo thứ tự tại (C,,,D). Call (E) là giao điểm của (CO) cùng (AM), (F)là giao điểm của (DO) cùng (BM).

Bạn đang xem: Cho nửa đường tròn tâm o đường kính ab=2r

a) chứng tỏ (4)điểm (A,C,M,O) cùng thuộc một mặt đường tròn.

b) chứng minh (AC + BD = CD) và tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật.

c) chứng tỏ tích (AC.BD) không đổi khi (M) di động cầm tay trên nửa mặt đường tròn.

d) Tìm địa chỉ của (M) trên nửa con đường tròn làm thế nào để cho diện tích tứ giác (ABDC) nhỏ nhất.


A.
B.
C.
D.

Đáp án đúng:


Lời giải của Tự học tập 365

Giải bỏ ra tiết:

*

a) Chứng minh (4)điểm (A,C,M,O) thuộc thuộc một đường tròn.

Vì tam giá chỉ (Delta OAC) vuông trên (A) cho nên nó nội tiếp đường tròn đường kính (CO) (1)

Lại bao gồm (Delta OMC) vuông tại (M) (do (MC) là tiếp đường tại (M)) vì thế nó nội tiếp mặt đường tròn đường kính (CO) (2)

Từ (1) và (2) ( Rightarrow A,C,M,O) cùng thuộc một con đường tròn có 2 lần bán kính (CO) (đpcm).

b) Chứng minh (AC + BD = CD) cùng tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật.

Xem thêm: Cách Làm Chè Nhãn Hạt Sen - Cách Nấu Chè Hạt Sen Long Nhãn Đơn Giản Tại Nhà

+) Xét con đường tròn (left( O ight)) tất cả (CM) với (CA) là nhị tiếp tuyến cắt nhau nên (AC = CM) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và (DM) cùng (DB) là hai tiếp tuyến giảm nhau yêu cầu (DM = DB) (tính chất hai tiếp tuyến giảm nhau)

Suy ra (AC + BD = cm + MD = CD) (đpcm).

+) cm Tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật

Ta có (CM = CAleft( cmt ight);,OM = OA = R) buộc phải (OC) là mặt đường trung trực của đoạn (AM Rightarrow OC ot AM) trên (E Rightarrow widehat MEO = 90^0.) (3)

Tương từ ta có (widehat MFO = 90^circ ) (4)

Xét (Delta AMB) nội tiếp mặt đường tròn (left( O ight)) gồm (AB) là 2 lần bán kính nên (Delta MAB) vuông trên (M) ( Rightarrow widehat EMF = 90^circ ) (5)

Từ (3), (4) và (5) ( Rightarrow ) tứ giác (MEOF) là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh tích (AC.BD) không đổi khi (M) cầm tay trên nửa đường tròn.

Do (MEOF) là hình chữ nhật ( Rightarrow Delta COD) vuông trên (O).

Có (CD) là tiếp tuyến đường của (left( O ight)) ( Rightarrow MO ot CD) trên (M.)

Suy ra (MO) là đường cao của (Delta COD), do đó (CM.MD = OM^2 = R^2) (hệ thức lượng vào tam giác vuông)

Từ ý a) ta bao gồm (AC = CM;,,BD = MD)( Rightarrow AC.BD = CM.MD = R^2) (không đổi) (đpcm).

d) Tìm vị trí của (M) trên nửa đường tròn làm sao để cho diện tích tứ giác (ABDC) nhỏ nhất.

Xem thêm: Đoàn Viên Có Mấy Quyền - Quyền Hạn Và Nhiệm Vụ Của Người Đoàn Viên

Ta có : (AC,BD) là tiếp tuyến đường của (left( O ight)) ( Rightarrow AC ot AB;,,,BD ot AB) ( Rightarrow AC//BD)

Do đó: (ABCD) là hình thang vuông bao gồm (AB) là mặt đường cao.

Khi đó ta tất cả : (S_ABCD = frac12ABleft( AC + BD ight)) ( = frac12AB.CD) ( = frac12ABleft( AC + BD ight)mathop ge limits^Co - si frac12AB.2.sqrt AC.BD = 2R^2)

(do theo câu b) ta có (CD = AC + BD) cùng theo câu c) ta có(AC.BD = R^2))

Nên (min S_ABCD = 2R^2 Leftrightarrow CD = AB) ( Leftrightarrow CD//AB Leftrightarrow MO ot AB) (do (MO ot CD))