CHO HÌNH CHÓP SABCD CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ĐỀU

     

Cho hình chóp (S.ABC) bao gồm đáy (ABC) là tam giác phần nhiều cạnh bằng (sqrt 6 ). Biết rằng các mặt mặt của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các các bên cạnh bằng (3sqrt 2 ). Tính thể tích bé dại nhất của khối chóp (S.ABC)


*

Gọi (M,,,N,,,P) thứu tự là hình chiếu của điểm (S) lên (AB,,,BC,,,AC) ta có:

(eginarrayl,,,,,S_Delta ABC = S_Delta BCA = S_Delta CAB\ Rightarrow dfrac12SM.AB = dfrac12SN.BC = dfrac12SP.CAendarray)

Mà (AB = BC = CA,,left( gt ight) Rightarrow SM = SN = SP).

Bạn đang xem: Cho hình chóp sabcd có đáy là tam giác đều

Gọi (O) là hình chiếu của (S) lên (left( ABC ight)), ta có: (left{ eginarraylAB ot SM\AB ot SOendarray ight. Rightarrow AB ot left( SOM ight) Rightarrow AB ot OM).

CMTT ta tất cả (ON ot BC,,,OP ot AC).

Xét những tam giác vuông (Delta SOM,,,Delta SON,,,Delta SOP) có:

(eginarraylSO,,chung\SM = SN = SP,,left( cmt ight)endarray)

( Rightarrow Delta SOM = Delta SON = Delta SOP) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

( Rightarrow OM = ON = OP), suy ra (O) cách đều các cạnh (AB,,,BC,,,CA) phải (O) là trung khu đường tròn nội tiếp (Delta ABC) hoặc (O) là trọng tâm đường tròn bàng tiếp (Delta ABC).

+ TH1: (O) là tâm đường tròn nội tiếp (Delta ABC). Mà (Delta ABC) đều đề xuất (O) là mặt khác là giữa trung tâm tam giác đều (ABC). Khi ấy ta gồm (AN = dfracsqrt 6 .sqrt 3 2 = dfrac3sqrt 2 2,,,AO = dfrac23AN = sqrt 2 ).

( Rightarrow SO = sqrt SA^2 - AO^2 = sqrt 18 - 2 = 4).

(S_Delta ABC = left( sqrt 6 ight)^2.dfracsqrt 3 4 = dfrac3sqrt 3 2).

( Rightarrow V_S.ABC = dfrac13SO.S_Delta ABC = dfrac13.4.dfrac3sqrt 3 2 = 2sqrt 3 ).

Xem thêm: Hướng Dẫn Cho Bé 6 Tháng Uống Nước Cam Được Chưa, Trẻ Mấy Tháng Tuổi Thì Được Uống Nước Cam

TH2: (O) là chổ chính giữa đường tròn bàng tiếp (Delta ABC).


*

Gọi (R) là nửa đường kính đường tròn bàng tiếp tam giác (ABC), (p) là nửa chu vi tam giác (ABC) ( Rightarrow p. = dfrac3sqrt 6 2).

Khi kia ta bao gồm (S_ABC = left( p - BC ight).R) ( Rightarrow left( sqrt 6 ight)^2.dfracsqrt 3 4 = left( dfrac3sqrt 6 2 - sqrt 6 ight).R Leftrightarrow R = dfrac3sqrt 2 2).

Có (AN = dfracsqrt 6 .sqrt 3 2 = dfrac3sqrt 2 2) ( Rightarrow OA = AN + ON = 3sqrt 2 ).

( Rightarrow SA > OA = 3sqrt 2 ) (quan hệ giữa con đường vuông góc và đường xiên)

( Rightarrow SB = 3sqrt 2 ).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông (OBM) có: (OB = sqrt OM^2 + BM^2 = sqrt left( dfrac3sqrt 2 2 ight)^2 + left( dfracsqrt 6 2 ight)^2 = sqrt 6 ).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông (SOB) có: (SO = sqrt SB^2 - OB^2 = sqrt left( 3sqrt 2 ight)^2 - left( sqrt 6 ight)^2 = 2sqrt 3 ).

Xem thêm: Nướng Khoai Tây Nguyên Củ Bằng Nồi Chiên Không Dầu Đơn Giản Thơm Ngon

Khi đó ta bao gồm (V_S.ABC = dfrac13.SO.S_ABC = dfrac13.2sqrt 3 .left( sqrt 6 ight)^2.dfracsqrt 3 4 = 3).