Cho A+B+C=0 Chứng Minh A^3+B^3+C^3=3Abc

     

Khi học môn Toán mỗi học sinh đều chạm mặt phải những khó khăn riêng của mình. Điều này rất dễ dàng hiểu, vì khi tham gia học Toán phần lớn học sinh chỉ muốn tạm dừng ở vị trí "" đưa ra được giải mã và bao gồm đáp số đúng"". Ví như vậy thì cho dù cho có giải được hàng trăm bài toán kỹ năng và kiến thức mà học sinh thu lượm được cũng chẳng là bao so với giải ít bài xích tập hơn nhưng mà luôn suy nghĩ để kiếm tìm ra bí quyết giải khác, luôn luôn luôn tìm kiếm cách khai thác bài toán để mang ra việc tương tự. Sự yêu thích và luôn luôn tìm cách khai thác bài toán, là nhỏ đường tốt nhất có thể để đi lên trong học Toán.

 




Bạn đang xem: Cho a+b+c=0 chứng minh a^3+b^3+c^3=3abc

*
15 trang | chia sẻ: gamize.vn | Lượt xem: 12225 | Lượt tải: 6Download


Xem thêm: Hãy Giải Thich Vì Sao Xương Hầm Lâu Thì Bở ?Help Please Wait

Bạn đã xem ngôn từ tài liệu Những ý nghĩ về từ câu hỏi Phânt ích A3 + B3 + C3 - 3ABC thành nhân tử, để download tài liệu về máy bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Cho Tam Giác Abc Có 3 Góc Nhọn Các Đường Cao Bd Ce Cắt Nhau Tại H

Những ý nghĩ về từ việc ""phân tích a3 +b3+c3 - 3abc thành nhân tử ""A- Đặt vấn đề.Khi học môn Toán mỗi học viên đều gặp phải những khó khăn riêng của mình. Điều này rất dễ dàng hiểu, vì lúc học Toán nhiều phần học sinh chỉ muốn dừng lại ở nơi "" tìm thấy được lời giải và bao gồm đáp số đúng"". Nếu như vậy thì cho mặc dù có giải được hàng ngàn bài toán kỹ năng mà học sinh thu lượm được cũng chẳng là bao so với giải ít bài tập hơn nhưng mà luôn suy nghĩ để search ra bí quyết giải khác, luôn luôn tìm cách khai thác bài toán để lấy ra câu hỏi tương tự. Sự mê mẩn và luôn tìm cách khai thác bài toán, là nhỏ đường rất tốt để đi lên trong học Toán.Bài viết này tôi trình bày nhằm mục tiêu giúp học sinh có một định hướng đúng mực trong quy trình học Toán.B - Nội dung.I - Phân tích:A = a3 + b3 +c3 -3abc thành nhân tử.Lời giải: tự (a+b)3= a3 + 3a2b +3ab2 + b3= a3 + b3 + 3ab (a+b)Ta suy ra: a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b)(1)áp dụng hằng đẳng thức (1) vào giải vấn đề ta có: A = (a3 + b3) + c3 - 3abc = (a+b)3 - 3ab (a+b) + c3 - 3abc = (a+b)3 + c3 - 3ab (a+b) - 3abc = = (a+b+c) (a2 +2ab + b2 -ac - bc + c2 - 3ab) = (a+b+c) (a2+ b2 +c2 -ab - bc - ac)(*)II - Lời bình.1. Giả dụ ta đặt thắc mắc :a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab (a+b) thì a3+ b3 + c3 sẽ bởi bao nhiêu? lúc đó giúp ta nghĩ đến chứng minh hằng đẳng thức:a3 + b3 +c3 = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac + 2bc) - 3bc (b+c) (2).Việc chứng tỏ hằng đẳng thức (2) là 1 trong những việc ko khó so với bạn đọc đề nghị tôi không bệnh minh.áp dụng hằng đẳng thức (2) vào giải việc ta có: A = a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac +2bc) - 3bc (b+c) - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac +2bc) - 3bc (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac).2. Bởi vì A là một trong những đa thức gồm bậc là lẻ với cả các biến cần dấu của a cũng là dấu của a3, lốt của b cũng chính là dấu của b3 cùng dấu của c cũng chính là dấu của c3. Cho nên vì thế việc giải việc :Bài toán:Phân tích các đa thức sau thành phân tử:a. A3 - b3 + c3 + 3abcb.a3 - b3 - c3 - 3abcc. - a3 - b3 - c3 + 3abc là một vấn đề dễ dàng đối với bạn đọc bởi -b3 ta rất có thể viết thành (-b)3, -c3 ta có thể viết thành (-c)3 với -a3 ta cũng hoàn toàn có thể viết thành (-a)3. Cho nên vì vậy bài toán bên trên được viết lại như sau:a. A3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (-b)3 + c3 - 3a (-b)c.b. A3 - b3 - c3 - 3abc = a3 + (-b)3 + (-c)3 - 3a (-b) (-c)c. - a3 - b3 - c3 + 3abc = - (a3 + b3 + c3 - 3abc)Mong bạn đọc tự giải.III - khai thác bài toán.Nhận xét 1: trường hợp ta mang lại A = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì ta đã có:a+b+c = 0a2 + b2 + c2 - ab -bc - ac = 0=> a+b+c = 0 a = b = cTừ dấn xét 1 có thể chấp nhận được ta nghĩ đến hai câu hỏi sau:Bài toán 1: minh chứng rằng: a3 + b3 + c3= 3abc thì a+b+c = 0 hoặc a = b = c câu hỏi 2: đến a+b+c = 0 . Hãy chứng minh rằng a3 + b3 + c3 - 3abc = 0Nhận xét 2: Lời bình 2 cho phép ta suy nghĩ đến một vài bài toán sau:Bài toán 3: chứng tỏ rằng :a3 - b3 + c3 + 3abc M a-b+c.Cách giải: áp dụng hằng đẳng thức (*) vào giải câu hỏi ta có:a3 - b3 + c3 + 3abc = a3 + (-b)3 + c3 - 3a (-b)c = (a+(-b) + c) = (a-b+c) (a2 + b2 +c2 +ab - ac + bc) M (a-b+c) (đ.p.c.m) câu hỏi 4: cho là số tự nhiên và thoải mái có bố chữ số đống ý M 11. Hãy chứng minh rằng: a3 - b3 + c3 + 3abc M 11. Giải pháp giải: M 11 => a - b +c M 11 (3)Theo vấn đề 3: a3 - b3 + c3 + 3abc = (a-b+c) (a2+b2+c2 + ab - ac + bc) (4)Từ (3) và (4) ta suy ra đ.p.c.m.Bài toán 5: đến M 7. Hãy chứng minh rằng: B = 8a3 - 64b3 +c3 + 24abcM7Cách giải: M 7 => 2a - 4b + c M 7 (5)Mặt khác: B = 8a3 - 64b3 + c3 + 24abc = (2a)3 - (4b)3 + c3 - 3 (2a) (-4b) c; theo câu hỏi 3 ta có:B = (2a - 4b +c) (4a2 + 16b2+ c2 + 8ab - 2ac + 4bc)(6).Từ (5) và (6) ta suy ra (đ.p.c.m)Nhận xét 3: trường đoản cú A = a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac); Ta gồm và nhấn xét như sau :+ A M (a+b+c) + A M (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac).+ các phân số với sẽ là những số nguyên cùng với mọi: a, b, c ẻ Z.+ Nếu; a,b,c,k là những số nguyên tán thành (a+b+c) M k thì A M kTừ nhận xét 3 có thể chấp nhận được ta nghĩ về đến một vài bài toán sau:Bài toán 6: chứng tỏ rằng đa thức A = a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c và tìm yêu mến của phép chia.Bài toán này không khó ước ao bạn hiểu tự giải.Bài toán 7:Cho a,b,c,k ẻ N* với UCLN (abc, a+b+c) = 1. Hãy chứng minh rằng trường hợp (a3+b3+c3+kabc) M (a+b+c) thì (k+3) M (a+b+c).Cách giải: (a3+b3+c3+kabc) M (a+b+c) => (a3+b3+c3 - 3abc +kabc+3abc) M (a+b+c)=> (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc - ac) +abc (k+3) M a+b+c=> (abc) (k+3) M (a+b+c) (7)Mặt không giống : UCLN (abc, a+b+c) = 1 (8).Từ (7) với (8) suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 8:Chứng minh rằng nhiều thức : A = a3 + b3 +c3 - 3abc phân chia hết mang lại đa thức .B = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac với tìm mến của phép chia A cho BCách giải: + Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = (a+b+c) B M B (đ.p.c.m)+ yêu đương của phép phân tách A mang đến B là a+b+cBài toán 9: chứng tỏ rằng trường hợp a,b,c là cha số nguyên khác 0 và đôi một không giống nhau thì các phân số B= với C = là những số nguyên.Bài toán này không khó muốn bạn phát âm tự giải.Bài toán 10: mang đến a,b,c là cha số nguyên liên tiếp. Hãy chứng minh rằng quý giá của biểu thức B= không nhờ vào vào giá trị của a,b,c.Cách giải:Ta gồm B = = a2 +b2 +c2 - ab - bc -ac = bởi a,b,c là cha số nguyên tiếp tục nên không mất tính tổng quát của việc ta đưa sử a>b>c:Ta có: a = c+2 cùng b = c+1.Thay a = c+2 và b = c+1 vào biểu thức B trên ta có. B = =. Không nhờ vào vào quý giá của a,b,c (đ.p.c.m)Bài toán 11: mang lại biểu thức B = . Hãy chứng tỏ rằng nếu a,b,c là ba số nguyên tiếp tục thì B là một số nguyên phân tách hết mang lại 3.Cách giải:Theo tác dụng bài toán 8 ta bao gồm B = a+b+c (9)Theo bài ra a,b,c là bố số nguyên liên tiếp(10)Từ (9) và (10) ta suy ra: B = a+b+c M 3 (tổng tía số nguyên thường xuyên chia hết mang đến 3)(đ.p.c.m)Bài toán 12: mang lại M 9. Hãy minh chứng rằng A = a3 +b3 +c3 - 3abc M9Cách giải: + M 9 => a+b+c M 9 (11)+ mặt khác: A= a3 +b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc - ac) (12).Từ (11) cùng (12) suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 13: a. đến a,b,c, k là những số nguyên toại nguyện (a+b+c) M k. Hãy chứng tỏ rằng : A = a3 + b3 +c3 - 3abc M k.b. Mang đến a,b,c,k là những số nguyên tán thành : a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac M k. Hãy chứng minh rằng A = a3 + b3 +c3 - 3abc M k.Cách giải:Ta có: A = (a+b+c) (a2 +b2+c2 -ab - bc - ac) .a. Vì chưng a+b+c M k . Suy ra A M k (đ.p.c.m)b. Bởi a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac M k. Suy ra A M k (đ.p.c.m)Bài toán 14: mang lại a+b+c = 2005. Hãy tính quý hiếm của biểu thức B = bí quyết giải: B = = = nhận xét 4 : nếu ta viết A = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3 - abc) + (b3 - abc) + (c3 - abc) Thì ta có vài nhấn xét như sau:+ A = a (a2 - bc)+ b (b2 - ac) + c (c2 - ab)+ A = a2 + A = a3 Từ thừa nhận xét 4 có thể chấp nhận được ta nghĩ đến một trong những bài toán sau:Bài toán 15:Cho x = a2 -bc; y = b2 - ac; z = c2 - ab. Hãy chứng tỏ rằng:a. (ax +by +cz) M (a+b+c)b. (ax +by +cz) M (x+y+z)Cách giải:a. Ta tất cả : (ax +by +cz) = a (a2 - bc) + b (b2 - ac) + c(c2 - ab) = a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2 +b2+c2 -ab - bc -ac) M (a+b+c)(đ.p.c.m)b. Ta có: x+y+z = (a2 - bc) +(b2 -ac) + (c2 - ab ) = a2 +b2 +c2 - ab- bc - ac (13)Theo câu a ta lại có:ax + by + cz = (a+b+c) (a2 +b2 +c2 -ab - bc - ac) (14)Từ (13) cùng (14) ta suy ra (đ.p.c.m) việc 16: mang lại x = a - Hãy chứng tỏ rằng (a2x + b2y +c2z) M (ax+by+cz) bí quyết giải:+) a2x + b2y +c2z = a2 (a- = a3+b3+c3 - 3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc -ac)(15).+) ax + by + cz = a (= a2+b2+c2 - ab - bc - ac (16).Từ (15) cùng (16) ta suy ra (đ.p.c.m).Bài toán 17:Cho: x = ;y = ;z = Hãy chứng minh rằng: a3x +b3y +c3z M a2x + b2y + c2zCách giải:+) a3x +b3y +c3z = a3 ( = a3 + b3 + c3-3abc = (a+b+c) (a2 +b2 +c2- ab -bc-ac) (17)+) a2x +b2y+c2z = a2 ( = a2 +b2+c2 - ab - bc - ac (18)Từ (17) cùng (18) ta suy ra (đ.p.c.m).Nhận xét 5: ví như ta mang lại A = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Thì ta suy ra: a3 +b3 +c3 = 3abc . Ta có hai dấn xét sau:+) +)Từ thừa nhận xét 5 cho phép ta nghĩ đến một số bài toán sau:Bài toán 18: mang lại : a+b+c = 0. Hãy tính quý hiếm của biểu thức B = cách giải:Ta có: B = = = = = 3 (do a+b+c = 0)Bài toán 19: mang lại a+b+c = 0. Hãy tính giá trị biểu thức B = cách giải: B = = = 3(Theo bài toán 18).Bài toán 20: mang đến . Hãy tính quý giá của biểu thức B = bí quyết giải: +) => => ab+bc+ac = 0(19)+) B = = = (20)Từ (19) với (20) ta suy ra B = 3. (Theo việc 18).Nhận xét 6: ví như A= a3 + b3 +c3 - 3abc = 0 ta suy ra a+b+c =0 hoặc a=b=c.- Trường thích hợp a+b+c = 0 ta suy ra : a= - (b+c)+)b= - (a+c)=> abc = - (a+b) (a+c) (b+c) => (a+b)(b+c) (a+c) = -abcc = - (a+b)a = - (b+c)+) từ bỏ b = - (a+c) c = - (a+b)Ta suy ra : =>=> (- Trường thích hợp a = b = c ta có => Từ dấn xét 6 được cho phép ta nghĩ đến một vài bài toán sau:Bài toán 21: Cho ba số không giống không a,b,c thoã mãn điều kiện. A3+b3+c3 - 3abc = 0. Hãy tính quý hiếm của biểu thức B = giải pháp giải: từ bỏ a3 +b3 +c3 - 3abc => a = b = c hoặc a+b+c = 0 (Theo nhận xét 1).Do đó : +) B = (1+1) (1+1) (1+1) = 8 trường hợp a=b=c+) B = ví như a+b+c=0Bài toán 22: Cho tía số không giống không a,b,c vừa ý a3b3+b3c3+a3c3 = 3a2b2c2 . Hãy tính quý hiếm của biểu thức. B = .Cách giải: Đặt ab = x, bc = y, ac = z.+ Ta có: x3 + y3 + z3 =3xyz(21)+) =>B = = (22)Từ (21) với (22) ta suy ra: B = 8 hoặc B = -1(theo việc 21).Nhận xét 7: từ bỏ A = a3 +b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+ b2 + c2 - ab - bc -ac) = (a+b+c) Ta tất cả nhận xét như sau: A ³ 0 với tất cả a+b+c > 0 dấu bằng xẩy ra khi a=b=c.Từ dấn xét 7 có thể chấp nhận được ta nghĩ đến một trong những bài toán sau:Bài toán 23: mang lại a,b,c là cha số thoải mái và tự nhiên đôi một không giống nhau. Hãy minh chứng rằng A = a3 + b3 +c3 -3abc chưa phải là số nguyên tố.Cách giải: Ta tất cả A = a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab - bc -ac) (23)Theo đề bài a,b,c là bố số tự nhiên và đôi một khác nhau nên ta suy ra:a+b+c ³ 3 a2+b2+c2 - ab -bc - ac ³ 3 ( Theo việc 10)(24)Từ (23) với (24) suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 24: cho những số dương a, b,c. Hãy minh chứng rằng B = a3 +b3 +c3 - 3abc không âm.Cách giải:Ta có : B = a3 +b3 + c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+ b2+c2 - ab - bc- ac) = (25)The bài xích ra a,b,c là những số dương đề nghị ta lại sở hữu a+b+c >0(26).Từ (25) cùng (26) ta suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 25: mang đến a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Hãy chứng tỏ rằng B= a3 +b3+ c3 - 3abc ³ 0.Cách giải: + a,b,c là cha cạnh của một tam giác buộc phải ta tất cả : a+b+c>0 (27)+ Theo câu hỏi 24 ta gồm B = (28)Từ (27) với (28) ta suy ra (đ.p.c.m)Bài toán 26: mang lại a,b,c là cha cạnh của một tam giác thoã mãn điều kiện a3 +b3 +c3 - 3abc = 0. Hãy dấn dạng tam giác đó.Cách giải:+) Theo việc 24 ta có: a3+b3+c3 - 3abc = (29)+) a,b,c là tía cạnh của một tam giác nên ta ta lại sở hữu a+b+c >0 (30)Từ (29) và(30) ta suy ra a3 +b3 +c2 - 3abc = 0 a-b = 0 a-c = 0 => a = b = c b-c = 0 Suy ra tam giác chính là tam giác đều.Bài toán 27: đến a,b,c là tía cạnh của một tam giác, không hẳn là tam giác cân. Hãy minh chứng rằng a3 + b3 + c3 -3abc >0.Cách giải:+ Theo câu hỏi 24 ta gồm a3 +b3+c3 -3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab - bc -ac) (31)+ Theo giải thiết ta lại có: a+b+c>0 (32) với a ạb ạc(33)Từ (31), (32) và (33) ta suy ra (đ.p.c.m)Nhận xét 8: ví như ta liên hệ hằng đẳng thức :a3 +b3 +c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 - ab-bc - ac) với hệ thức lượng thì ta tất cả nhận xét như sau:Nếu a có tác dụng một góc nhọn thì Cosa, Sina, Tga, Cotga là hầu như số dương.Từ nhận xét 8 được cho phép ta suy nghĩ đến một số trong những bài toán sau:Bài toán 28: cho tam giác ABC có bố góc phần nhiều nhọn. Hãy chứng tỏ rằng:a. Sin3A+ Sin3B + Sin3C - 3 SinASinBSinC ³ 0.b. Cos3A + Cos3B + Cos3C - 3 CosA CosB CosC ³ 0.c. Tg3A + Tg3B + Tg3C - 3 TgA TgBTgC ³ 0.d. Cotg3A + Cotg3B + Cotg3C - 3CotgA CotgB CotgC ³ 0.Bài toán 29: đến tam giác ABC gồm 3 góc những nhọn toại ý điều kiện.Tg3A + Tg3B + Tg3C - 3 TgA TgBTgC = 0. Hãy dấn dạng tam giác đó.Cách giải: bài toán 28 và vấn đề 29 gồm cách giải giống những bài tập 25,26. Hy vọng bạn đọc tự giải. Nhấn xét 9: trường hợp ta cầm cố a,b,c bởi những đa thức một biến chuyển hoặc nhiều biến đổi vào đa thức. A= a3+b3+c3 - 3abc thì ta sẽ tiến hành vô số các bài toán tựa như bài toán A.Sau phía trên tôi xin gợi ý một vài câu hỏi của dạng này .Bài toán 30:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.a. (x+1)3 + (2x+3)3+ (x-4)3 - 3(x+1) (2x +3) (x-4).b. (x+y)3 + (y+z)3 + (x+z)3 - 3(x+y) (y+z) (x+z).c. (x+2y)3 - (y-z)3 + (x+z)3 + 3(x+2y)(y-z)(x+z)Bài toán 31: Giải những phương trình sau:a. (x+1)3+(2x+1)3 + (x+2)3 - 3 (x+1)(2x+1)(x+2) = 0.b. (1-x)3 + (2x-1)3 (1+3x)3 + 3(1-x) (2x - 1) (1+3x) = 0c. (x+1)3 + (x-1)3 + (2x+1)3 + 3(1-x2) (2x+1) = 0Cách giải:Các bài xích tập 30a,b,c; 31a,b ta thực hiện hằng đẳng thức a3 + b3 +c3 - 3abc nhằm giải trực tiếp.Đối với bài 31c ta phải đổi khác 3(1-x2) (2x+1) = -3 (x+1) (x-1)(2x+1) sau đó giải tương tự như bài 31a,b.Bài toán 32: Giải phương trình nguyên dương:(x+y)3 + (y+z)3 + (x+z)3 - 3(x+y) (y+z) (x+z) = 0Cách giải: Ta chuyển đổi phương trình về dạng.(x+y+z) (x-y)2 = 0(y-z)2 = 0(x-z)2 = 0 (Do x+y+z >0)=> x= y = zĐS: PT có nghiệm là (x;x;x) với ngã N*C- tóm lại và con kiến nghị.Những vụ việc tôi trình diễn trên đây chỉ là một vài ý kiến nhỏ được rút ra trong quy trình giảng dạy và tu dưỡng học sinh. Sau khi đã cung cấp những loài kiến thức quan trọng tôi thấy học sinh không ngần ngaị gì mang đến việc vận dụng hằng đẳng thức: a3+b3+c3 - 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ac)(*) vào giải. Ko riêng gì phần nhiều em có chuyên môn từ tương đối trở lên hứng thú và giải một phương pháp rất nhanh, rất chính xác dạng toán này, nhưng mà những học sinh trung bình cũng nắm bắt được kiến thức cơ bạn dạng để vận dụng. Tuy vậy sự văn minh ấy không được thể hiện tại một cách rõ rệt nhưng tôi hi vọng rằng đây đã là những pháp luật sắc bén, giúp học sinh có thể giải quyết giỏi những việc có liên quan đến hằng đẳng thức như tôi đã trình diễn .Một việc hay, một dạng toán nào kia đều hoàn toàn có thể khai thác theo không ít hướng, rất nhiều cách khác nhau. Nhưng chiếc đích cuối cùng thì bắt buộc đưa được học viên về loại gọi là kỷ năng và kỷ xảo có tác dụng toán. Dĩ nhiên chắn nội dung bài viết của tôi còn các khiếm khuyết và hạn chế. Tôi rất ý muốn nhận được sự góp ý thật tâm của bằng hữu đồng nghiệp và toàn bộ mọi fan say mê toán để phiên bản sáng loài kiến này triển khai xong hơn, không thiếu hơn, đa dạng và phong phú và phong phú và đa dạng hơn nữa.Tôi xin thật tình cảm ơn!